這是什麼？
哥德爾不完備性定理（1931年）證明了任何包含算術的一致數學系統都包含無法在該系統內證明的真命題。這粉碎了建立完整且可自我驗證的數學體系的夢想。
📖 深入了解
類比 1
想像一個試圖制定一部關於所有法律的法律的法律體系——它不可避免地會遇到無法由自己的法院判斷的規則。
類比 2
想像一下，一本字典必須只使用字典中已有的單字來定義每個單字——某些意思總是會逃脫捕獲。
🎯 模擬器提示
初學者
建立簡單的正式陳述並檢查它們是否可以在系統內得到證明。
中級
建構自我參照陳述來發現無法證明但真實的真理。
專家
探索不同形式系統中可判定和不可判定語句之間的邊界。
📚 術語表
🏆 關鍵人物
Kurt Gödel (1931)
25歲時發表不完備性定理，從根本上限制了數學基礎
David Hilbert (1920)
提議形式化所有數學並證明其一致性——哥德爾證明的程序是不可能的
Alan Turing (1936)
將哥德爾的結果擴展到計算中，證明停機問題是不可判定的
Alfred Tarski (1933)
證明了算術真理的不可定義性，與哥德爾的結果密切相關
Douglas Hofstadter (1979)
《哥德爾、埃舍爾、巴赫》的作者，向一般讀者普及了不完整性和自我參照
🎓 學習資源
- On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems [paper]
原始不完備定理論文 (1931)，翻譯成英文 - Gödel's Proof [paper]
為非專業人士提供的不完備性定理的易讀書籍長度解釋（1958） - Stanford Encyclopedia - Gödel's Incompleteness [article]
對兩個不完備性定理的嚴格哲學概述 - Gödel's Incompleteness Theorems - Math is Fun [article]
為初學者簡單解釋哥德爾結果