这是什么？
哥德尔不完备性定理（1931年）证明了任何包含算术的一致数学系统都包含无法在该系统内证明的真命题。这粉碎了建立完整且可自我验证的数学体系的梦想。
📖 深入了解
类比 1
想象一下一个试图制定一部关于所有法律的法律的法律体系——它不可避免地会遇到无法由自己的法院判断的规则。
类比 2
想象一下，一本字典必须仅使用字典中已有的单词来定义每个单词——某些含义总是会逃脱捕获。
🎯 模拟器提示
初学者
构建简单的正式陈述并检查它们是否可以在系统内得到证明。
中级
构建自我参照陈述来发现无法证明但真实的真理。
专家
探索不同形式系统中可判定和不可判定语句之间的边界。
📚 术语表
🏆 关键人物
Kurt Gödel (1931)
25岁时发表不完备性定理，从根本上限制了数学基础
David Hilbert (1920)
提议形式化所有数学并证明其一致性——哥德尔证明的程序是不可能的
Alan Turing (1936)
将哥德尔的结果扩展到计算中，证明停机问题是不可判定的
Alfred Tarski (1933)
证明了算术真理的不可定义性，与哥德尔的结果密切相关
Douglas Hofstadter (1979)
《哥德尔、埃舍尔、巴赫》的作者，向普通读者普及了不完整性和自我参照
🎓 学习资源
- On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems [paper]
原始不完备性定理论文 (1931)，翻译成英文 - Gödel's Proof [paper]
为非专业人士提供的不完备性定理的易读书籍长度解释（1958） - Stanford Encyclopedia - Gödel's Incompleteness [article]
对两个不完备性定理的严格哲学概述 - Gödel's Incompleteness Theorems - Math is Fun [article]
为初学者简单解释哥德尔结果